Notacja wykładnicza - co to, jak wykonywać działania i przykłady zadań

W matematyce i naukach ścisłych często spotykamy się z bardzo dużymi lub bardzo małymi liczbami. Zapisywanie ich w tradycyjnej formie bywa niewygodne i nieczytelne. Rozwiązaniem okazuje się notacja wykładnicza (zwaną również naukową). Dzięki niej liczby można przedstawić w uproszczonej postaci, która ułatwia obliczenia i porównania.

Notacja wykładnicza: co to - definicja

Notacja wykładnicza to sposób zapisywania liczb przy pomocy potęgi liczby 10. Liczbę zapisuje się jako iloczyn: a * 10ⁿ

gdzie:

• a -  liczba rzeczywista z przedziału ⟨1, 10), jest to tak zwana mantysa,
• n - wykładnik potęgi liczby 10, liczba całkowita (dodatnia, ujemna lub zero).

Jak widać sama definicja notacji wykładniczej jest niezwykle prosta. Zamiast zapisywać liczbę z wieloma zerami, wystarczy zastosować takie proste działanie matematyczne, które pozwala zaoszczędzić znacznie więcej miejsca. Jednocześnie też można dzięki temu uniknąć potencjalnych błędów i zwiększyć czytelność przedstawianych liczb.

Przykłady:

Duże liczby w notacji wykładniczej:

• 5 000 = 5 * 10³,
• 120 000 000 = 1,2 * 10⁸.

Małe liczby w notacji wykładniczej:

• 0,0045 = 4,5 * 10^-3,
• 0,000 000 072 = 7,2 * 10^-8.

Ujemne liczby w notacji wykładniczej:

• −370 = −3,7×10²,
• −0,0048 = −4,8×10⁻³.

Notacja wykładnicza - działania (dla chętnych)

Działania na notacji wykładniczej nie są wymagane na maturze z matematyki, jednak jeśli interesuje Cię sposób wykorzystania notacji wykładniczej w ramach działań, warto zapoznać się z poniższymi zastosowaniami.

Dodawanie i odejmowanie liczb w notacji wykładniczej

W przypadku dodawania lub odejmowania liczb w notacji wykładniczej, istotne jest to, żeby wykładniki były te same w przypadku obu potęg. Czyli trzeba dopasować obie liczby tak (poprzez przesuwanie przecinka), żeby wykładniki były identyczne. Wtedy wystarczy dodać lub odjąć ze sobą mantysy, a potęga pozostaje taka sama.

Przykłady dodawania i odejmowania liczb w notacji wykładniczej:

3 * 10⁴ + 2 * 10⁴ = 5 * 10⁴,

5 * 10³ + 1.2 * 10³ = 6.2 * 10³,

7 * 10⁵ - 2 * 10⁵ = 5 * 10⁵,

4,5 * 10⁶ - 1,5 * 10⁶ = 3 * 10⁶.

Mnożenie i dzielenie liczb w notacji wykładniczej

W przypadku mnożenia liczb w notacji wykładniczej, należy pomnożyć ze sobą mantysy, a wykładniki dodać, co obrazuje wzór: (M * 10^m) * (n * 10ⁿ) = M * n  * 10^m+n.

Przykłady mnożenia liczb w notacji wykładniczej:

(3 * 10⁴) * (2 * 10³) = 6 * 10⁷,

(5 * 10²) * (4 * 10⁵) = 20 * 10⁷ = 2 * 10⁸.

Z kolei dzielenie liczb w notacji wykładniczej, to dzielenie przez siebie mantys i od siebie wykładników, w ramach wzoru wygląda to następująco: (M * 10^m) / (n * 10ⁿ) = M / n  * 10^m-n.

Przykłady dzielenia liczb w notacji wykładniczej:

(6 * 10⁷) / (2 * 10³) = 3 * 10⁴,

(8 * 10⁵) / (4 * 10²) = 2 * 10³.

Potęgowanie i pierwiastkowanie liczb w notacji wykładniczej

Potęgowanie liczby w notacji wykładniczej, polega na podniesieniu liczby (mantysy) do potęgi, a przy tym wykładnik potęgi mnoży się przez wartość drugiego wykładnika, wzór wygląda następująco: (M * 10^m)^a = M^a  * 10^m*n.

Przykłady potęgowania liczby w notacji wykładniczej:

(2 * 10³)² = 4 * 10⁶,

(3 * 10²)³ = 27 * 10⁶.

Pierwiastkowanie działa w analogiczny sposób, należy spierwiastkować mantysę, a wykładnik potęgi podzielić przez drugi wykładnik, wzór to: ^a√(M * 10^m) = ^a√M  * 10^m/a.

Przykłady pierwiastkowania liczby w notacji wykładniczej:

√(4 * 10⁶) = 2 * 10³,

√(9 * 10⁸) = 3 * 10⁴.

Zastosowania notacji wykładniczej

1. Kalkulatory i komputery - większość urządzeń elektronicznych korzysta z notacji naukowej do prezentowania wyników, które nie mieszczą się na ekranie.
2. Porównywanie liczb - Gdyby nie notacja wykładnicza porównywanie liczby 1000000000000 i 1000000000 opierałoby się na liczeniu zer manualnie. W przypadku notacji wykładniczej wystarczy porównać wykładniki dziesiątki. W przypadku liczb 1×10¹² i 1×10⁹ od razu widać, która jest większa. 
3. Ułatwienie obliczeń - praca na potęgach 10 sprawia, że mnożenie i dzielenie staje się prostsze.
   Przykładowo w przypadku mnożenia liczb 1,27×10³⁵ i 2,71×10¹² wystarczy przemnożyć mantysy (liczby przed potęgami, np 1,27 i 2,71) ze sobą i dodać wykładniki 10. Należy pamiętać, że nowa mantysa musi mieścić się w przedziale [1,10) - w przypadku nieprawidłowości należy przesunąć przecinek i odpowiednio dostosować wartość wykładnika 10.

Notacja wykładnicza a zapisy komputerowe

W informatyce często stosuje się zapis z literą „E” oznaczającą potęgę liczby 10. Na przykład:

• 3.2E5 oznacza 3,2×10⁵,
• 7.1E-4 oznacza 7,1×10^-4

Dzięki temu zapis jest jednoznaczny, łatwy do przetwarzania przez programy komputerowe i nie wymaga specjalnych znaków na klawiaturze.

Notacja wykładnicza - zadania 

Pod spodem znajdziesz kilka zadań opartych o prostą konwersję notacji wykładniczej. Rozwiąż je dla utrwalenia swojej wiedzy z zakresu notacji wykładniczej.

Najczęściej zadawane pytania o notację wykładniczą