Potęgowanie to podstawa matematyki, na której opiera się wiele znanych wzorów. Dlatego też chcąc dobrze zdać maturę z matematyki lub po prostu zgłębiając tę piękną dziedzinę jaką jest matematyka, należy dobrze zapoznać się z wzorami potęgowania oraz sposobami ich wykorzystania. Poniższy artykuł zapozna Cię z tym tematem.
Potęga to zapis mnożenia liczby przez siebie samą określoną liczbę razy. Dzięki temu, można uprościć zapis mnożenia, czyli przykładowo zamiast pisać 3 * 3 * 3 wystarczy zapisać 33. Można sobie łatwo wyobrazić jak bardzo jest to przydatne przy dłuższych zapisach mnożenia, gdzie tych liczb jest kilkanaście lub kilkadziesiąt.
Zapis ogólny potęgowania: aⁿ = a * a * a …(n razy)... * a = x
gdzie:
Przykład:
23 = 2 × 2 × 2 = 8
Uwaga: Gdy wykładnik jest równy zero, wynikiem zawsze jest 1 (chyba, że w podstawie mamy 0, wtedy jest to symbol nieoznaczony).
Gdy podstawa jest ujemna dla parzystych wykładników, wynik jest dodatni, a dla nieparzystych ujemny. Przykład potęgi ujemnej:
-52 = (-5) * (-5) = 25, ale -53 = (-5) * (-5) * (-5) = -125
Co ciekawe, w przypadku ujemnego wykładnika można stosunkowo łatwo „usunąć minus”. Wystarczy skorzystać z własności potęg mówiącej, że potęga o wykładniku ujemnym jest równa odwrotności potęgi o wykładniku dodatnim:
a-n = (1/an)
Przykładowo:
5-2 = 1/52 = 1/25
-33 = 1/33 = 1/27
Podobnie działa to dla liczb ujemnych (należy jednak używać nawiasów przy podstawie):
(-2)-2 = 1/((-2)2) = 1/4
(-2)-3 = 1/((-2)3) = -1/8
W każdym przypadku minus w wykładniku oznacza przejście do odwrotności liczby, natomiast znak podstawy zależy dodatkowo od tego, czy wykładnik jest parzysty czy nieparzysty.
Kwadrat danej liczby, to konkretna liczba podniesiona do drugiej potęgi. Czyli przykładowo:
a2
Czyli kwadrat liczby 3, to: 32.
Sześcian danej liczby, to po prostu konkretna liczba podniesiona do trzeciej potęgi. Czyli przykładowo:
a3
Czyli sześcian liczby 3, to: 33.
Poniżej znajdziesz tabelę potęg od 1 do 10 w formie obrazka oraz tabeli. Wybierz odpowiednie przecięcie się kolumny i wiersza, żeby znaleźć interesujący Cię wynik.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 | 512 | 1024 |
| 3 | 3 | 9 | 27 | 81 | 243 | 729 | 2187 | 6561 | 19683 | 59049 |
| 4 | 4 | 16 | 64 | 256 | 1024 | 4096 | 16384 | 65536 | 262144 | 1048576 |
| 5 | 5 | 25 | 125 | 625 | 3125 | 15625 | 78125 | 390625 | 1953125 | 9765625 |
| 6 | 6 | 36 | 216 | 1296 | 7776 | 46656 | 279936 | 1679616 | 10077696 | 60466176 |
| 7 | 7 | 49 | 343 | 2401 | 16807 | 117649 | 823543 | 5764801 | 40353607 | 282475249 |
| 8 | 8 | 64 | 512 | 4096 | 32768 | 262144 | 2097152 | 16777216 | 134217728 | 1073741824 |
| 9 | 9 | 81 | 729 | 6561 | 59049 | 531441 | 4782969 | 43046721 | 387420489 | 3486784401 |
| 10 | 10 | 100 | 1000 | 10000 | 100000 | 1000000 | 10000000 | 100000000 | 1000000000 | 10000000000 |
Na potęgach można wykonywać rozmaite działania, takie jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęga potęgi, a także potęga iloczynu czy ilorazu. Poniżej znajdziesz odpowiednie wzory wymagane do poszczególnych działań oraz przykłady ich wykorzystania.
Nie ma gotowych wzorów dotyczących dodawania oraz odejmowania potęg o tych samych podstawach i wykładnikach. Jednak można uprościć zapis takiego działania, co przedstawiono poniżej.
Przykład:
315 + 315 = 2 x 315
3 x 315 + 315 = 4 x 315
315 - 315 = 0
2 x 315 + 315 = 3 x 315 = 316
3 x 315 - 315 = 2 x 315
316 - 315 = 3 · 315 - 1 · 315 = (3 - 1) · 315 = 2 · 315
Gdy mnożymy dwie potęgi o tej samej podstawie po prostu dodajemy wykładniki.
am × an = am+n
Przykład:
32 × 34 = 36 = 729
32 * (⅓)-2 = 32 * 32 = 34
Analogicznie w czasie dzielenia odejmujemy wykładniki
am ÷ an = am-n (dla a ≠ 0)
Przykład:
56 ÷ 52 = 54 = 625
Podnoszenie potęgi do potęgi polega na przemnożeniu wykładników.
(am)n = am*n
Przykład:
(23)2 = 26 = 64
Potęgowanie iloczynu polega na podniesieniu wszystkich elementów działania do danej potęgi.
(ab)n = an × bn
Przykład:
(2 × 5)3 = 103 = 1000 = 23 × 53 = 8 × 125 = 1000
Potęgowanie ilorazu działa w ten sam sposób co potęgowanie iloczynu.
(a/b)n = an / bn (dla b ≠ 0)
Przykład:
(3/4)2 = 32 / 42 = 9 / 16
Częstym błędem jest zapisywanie działań z potęgami w ten sposób:
22 + 32 = (2+3)2 = 52 = 25
Ten zapis jest niepoprawny i prawie nigdy nie uzyskamy poprawnego wyniku.
Poprawne rozwiązanie:
22 + 32 = 4 + 9 = 13
Gdy mamy do czynienia z tymi samymi składnikami działania:
32 + 32 = 2*32 = 2*9 = 18
Symbole nieoznaczone to wyrażenia matematyczne, których nie można jednoznacznie obliczyć, bo prowadzą do sprzecznych lub nieokreślonych wyników.
Przykłady:
Krótko mówiąc: symbol nieoznaczony to działanie, którego wynik nie jest określony w matematyce.
Kliknij w treść danego zadania z potęgowania, a pojawi się odpowiedź do niego. Z kolei pod linkiem zadania z potęgowania, możesz znaleźć więcej ćwiczeń z potęgowania. Zadania które się tam znajdują, mają rozwiązania krok po kroku, na końcu pliku.
Zadania z potęgowania - 50 zadań - kliknij aby pobrać
Potęgowanie to mnożenie tej samej liczby przez siebie wiele razy.
Ogólna postać: an = a · a · a …(n razy)... · a
Przykłady:23 = 2 · 2 · 2 = 8
54 = 5 · 5 · 5 · 5 = 625
102 = 10 · 10 = 100
am · an = a(m+n)
np. 23 · 24 = 2(3+4) = 27 = 128
Dzielenie potęg o tej samej podstawie:am / an = a(m-n), (a ≠ 0)
np. 56 / 52 = 5(6-2) = 54 = 625
Potęga potęgi:(am)n = a(m × n)
np. (32)4 = 3(2 × 4) = 38 = 6561
Potęga iloczynu:(a × b)n = an × bn
np. (2 × 5)3 = 23 · 53 = 8 · 125 = 1000
Potęga ułamka:(a/b)n = an / bn, (b ≠ 0)
np. (2/3)2 = 22 / 32 = 4/9
Najważniejsze wzory znajdziesz poniżej:
