Data aktualizacji: 23 lutego 2026

Wzory skróconego mnożenia - przykłady najważniejszych wzorów, do czego służą i jak działają

Wzory skróconego mnożenia to jedno z podstawowych zagadnień algebry, które regularnie pojawia się na maturze z matematyki. Ich znajomość pozwala nie tylko zaoszczędzić czas na egzaminie, ale także uniknąć prostych błędów rachunkowych. Jeśli chcesz dowiedzieć się więcej o tym na co należy uważać, skorzystaj z naszego kursu przygotowującego do matury z matematyki.

Wzory skróconego mnożenia - najważniejsze z nich

Wzory skróconego mnożenia to zestaw algebraicznych tożsamości, które upraszczają mnożenie i przekształcanie wyrażeń algebraicznych. Są one szczególnie użyteczne przy rozkładaniu wielomianów na czynniki oraz przy szybkim obliczaniu wartości liczbowych. Są bardzo często wykorzystywane w zadaniach dowodowych na maturze.

Wzory skróconego mnożenia - Tablica
Najważniejsze wzory skróconego mnożenia – podstawowe schematy algebraiczne, które ułatwiają przekształcanie wyrażeń i rozwiązywanie zadań maturalnych z matematyki.

Wzory skróconego mnożenia (po kliknięciu we wzór pokaże się jego przykład):

kwadrat sumy (a+b)²= a² + 2ab + b²

Przykład:
(x + 5)²

Zastosowanie wzoru:
(x + 5)² = x² + 2·x·5 + 5² = x² + 10x + 25

kwadrat różnicy (a-b)² = a² - 2ab + b²

Przykład:
(3x - 4)²

Zastosowanie wzoru:
(3x - 4)² = (3x)² - 2·3x·4 + 4² = 9x² - 24x + 16

różnica kwadratów a2-b2 = (a-b)(a+b)

Przykład:
x² - 16

Zastosowanie wzoru:
x² - 16 = x² - 4² = (x - 4)(x + 4)

sześcian sumy (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Przykład:
(x + 2)³

Zastosowanie wzoru:
(x + 2)³ = x³ + 3x²·2 + 3x·2² + 2³ = x³ + 6x² + 12x + 8

sześcian różnicy (a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

Przykład:
(2x - 1)³

Zastosowanie wzoru:
(2x - 1)³ = (2x)³ - 3·(2x)²·1 + 3·(2x)·1² - 1³
= 8x³ - 12x² + 6x - 1

suma sześcianów a³ + b³ = (a+b) * (a² - ab + b²)

Przykład:
x³ + 27

Zastosowanie wzoru:
x³ + 27 = x³ + 3³ = (x + 3)(x² - 3x + 9)

różnica sześcianów a³ - b³ = (a - b) * (a² + ab + b²)

Przykład:
x³ - 8

Zastosowanie wzoru:
x³ - 8 = x³ - 2³ = (x - 2)(x² + 2x + 4)

Wzory skróconego mnożenia - przykłady zadań

Poniżej znajdują się przykłady zadań ilustrujące zastosowanie najważniejszych wzorów skróconego mnożenia wraz z krokami obliczeń.

1. Kwadrat sumy

Wzór: (a + b)² = a² + 2ab + b²

Zadanie 1: (x + 3)²(x + 3)² = x² + 2·x·3 + 3²
x² + 6x + 9
Zadanie 2: (2y + 1)²(2y + 1)² = (2y)² + 2·2y·1 + 1²
4y² + 4y + 1
Zadanie 3: (3x + 4)²(3x + 4)² = (3x)² + 2·3x·4 + 4²
9x² + 24x + 16
2. Kwadrat różnicy

Wzór: (a - b)² = a² - 2ab + b²

Zadanie 1: (x - 5)²(x - 5)² = x² - 2·x·5 + 5²
x² - 10x + 25
Zadanie 2: (2y - 1)²(2y - 1)² = (2y)² - 2·2y·1 + 1²
4y² - 4y + 1
Zadanie 3: (3x - 4)²(3x - 4)² = (3x)² - 2·3x·4 + 4²
9x² - 24x + 16
3. Różnica kwadratów

Wzór: (a + b)(a - b) = a² - b²

Zadanie 1: (x + 3)(x - 3)(x + 3)(x - 3) = x² - 3²
x² - 9
Zadanie 2: (2y + 1)(2y - 1)(2y + 1)(2y - 1) = (2y)² - 1²
4y² - 1
Zadanie 3: (3x + 4)(3x - 4)(3x + 4)(3x - 4) = (3x)² - 4²
9x² - 16
4. Sześcian sumy

Wzór: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Zadanie 1: (x + 2)³(x + 2)³ = x³ + 3x²·2 + 3x·2² + 2³
x³ + 6x² + 12x + 8
Zadanie 2: (2y + 1)³(2y + 1)³ = (2y)³ + 3·(2y)²·1 + 3·2y·1² + 1³
8y³ + 12y² + 6y + 1
Zadanie 3: (3x + 4)³(3x + 4)³ = (3x)³ + 3·(3x)²·4 + 3·3x·4² + 4³
27x³ + 108x² + 144x + 64
5. Sześcian różnicy

Wzór: (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

Zadanie 1: (x - 2)³(x - 2)³ = x³ - 3x²·2 + 3x·2² - 2³
x³ - 6x² + 12x - 8
Zadanie 2: (2y - 1)³(2y - 1)³ = (2y)³ - 3·(2y)²·1 + 3·2y·1² - 1³
8y³ - 12y² + 6y - 1
Zadanie 3: (3x - 4)³(3x - 4)³ = (3x)³ - 3·(3x)²·4 + 3·3x·4² - 4³
27x³ - 108x² + 144x - 64
6. Suma sześcianów

Wzór: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)

Zadanie 1: x³ + 8x³ + 8 = x³ + 2³
= (x + 2)((x)² - x·2 + 2²)
= (x + 2)(x² - 2x + 4)
Zadanie 2: 27 + y³27 + y³ = 3³ + y³
= (3 + y)((3)² - 3·y + y²)
= (3 + y)(9 - 3y + y²)
Zadanie 3: 8x³ + 18x³ + 1 = (2x)³ + 1³
= (2x + 1)((2x)² - 2x·1 + 1²)
= (2x + 1)(4x² - 2x + 1)
7. Różnica sześcianów

Wzór: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

Zadanie 1: x³ - 27x³ - 27 = x³ - 3³
= (x - 3)((x)² + x·3 + 3²)
= (x - 3)(x² + 3x + 9)
Zadanie 2: 64 - y³64 - y³ = 4³ - y³
= (4 - y)((4)² + 4·y + y²)
= (4 - y)(16 + 4y + y²)
Zadanie 3: 1 - 8x³1 - 8x³ = 1³ - (2x)³
= (1 - 2x)(1² + 1·2x + (2x)²)
= (1 - 2x)(1 + 2x + 4x²)

Najczęściej zadawane pytania o wzory skróconego mnożenia

Jakie są wzory skróconego mnożenia?

Najważniejsze wzory skróconego mnożenia to:

  • Kwadrat sumy: (a + b)² = a² + 2ab + b²
  • Kwadrat różnicy: (a - b)² = a² - 2ab + b²
  • Różnica kwadratów: a² - b² = (a - b)(a + b)
  • Sześcian sumy: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
  • Sześcian różnicy: (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
  • Suma sześcianów: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
  • Różnica sześcianów: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
Jak zauważyć wzór skróconego mnożenia?

Wzór skróconego mnożenia można zauważyć, gdy:

  • widzisz wyrażenie w nawiasie podniesione do potęgi, np. (x + 3)² lub (2a - 5)³,
  • masz trójmian postaci: a² + 2ab + b² lub a² - 2ab + b²,
  • widzisz różnicę dwóch kwadratów, np. x² - 9,
  • pojawia się suma lub różnica sześcianów, np. x³ + 8 lub y³ - 27.

Warto zwracać uwagę na charakterystyczne elementy: dwa składniki, potęgi drugiego lub trzeciego stopnia oraz wyraz „środkowy” (np. 2ab lub 3a²b).

Ile to jest a kwadrat plus b kwadrat?

Wyrażenie a² + b² oznacza sumę kwadratów liczb a i b.

Nie można go uprościć za pomocą wzorów skróconego mnożenia (nie istnieje wzór na rozkład sumy kwadratów w liczbach rzeczywistych).

Na przykład:
Jeśli a = 3 i b = 4, to
a² + b² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25.

Jak oceniasz ten artykuł?

Przykro nam 🙁 , że ten wpis nie był dla Ciebie wystarczająco przydatny!

Będziemy wdzięczni jeżeli napiszesz co moglibyśmy poprawić.

Najnowsze wpisy

Sortowanie przez wstawianie – co to jest, schemat blokowy oraz przykład zastosowania

Przeczytaj >>

Matura z informatyki 2026 - Odpowiedzi

Przeczytaj >>

Czy Olimpiada Informatyczna Juniorów (OIJ) jest trudna?

Przeczytaj >>

Technik informatyk - kwalifikacja INF.02 - Z czego składa się egzamin INF.02?

Przeczytaj >>

Algorytm Euklidesa - Co to jest algorytm NWD, jak go obliczyć i zaimplementować

Przeczytaj >>

JESTEŚ AMBITNY?

Dołącz do nas jeszcze dziś i rozwijaj się w swojej ulubionej dziedzinie we współpracy z nauczycielami, którzy są autorami artykułów na naszym blogu!
POZNAJ OFERTĘ KUrSÓW
© Ambitni Szkoła Informatyki 011111100101(2) | jesteś niemal gotowy!
crossmenu